Bu makalede Gödel’in tamamlanamazlık teoremlerinden hareketle biçimselciliğin sınırlarını göstermeyi amaçlıyoruz. Çalışmamızdaki en temel tartışma biçimsel olarak ispat edilebilirlik ile doğruluk arasındaki gerilime dayanmaktadır. Frege’nin aritmetiği mantığa indirgeme projesiyle başlayan ve Hilbert’in biçimselcilik projesiyle devam eden çalışmalar matematiğe sağlam bir temel oluşturma amacını taşıyordu. Fakat Gödel bazı önermelere biçimsel olarak karar verilemeyeceğini ispatlayınca Hilbert’in biçimselcilik projesinin kuşatıcılığı da darbe almış oldu. Diğer taraftan Gödel’in teoremleri ispatı verilemeyen ama yine de doğruluğundan bahsedilebilen önermelerin olduğunu gösterdiği için ispatlanabilirlik-doğruluk tartışmasını başlattı. Çalışmamızda Gödel’in teoremlerine dayanarak biçimsel bir dilde ispat edilebilirliğin sınırlarını göstermeye çalışıyoruz. Böylece çalışmamız biçimsel olarak ispat edilebilirliğin doğruluğu kuşatamadığı sonucuna varmaktadır. M e t a Zi h i n Y a p a y Z e k a v e Z i h i n F e l s e f e s i D e r g i s i METAZİHİN YAPAY ZEKA VE ZİHİN FELSEFESİ DERGİSİ METAMIND: JOURNAL OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE AND PHILOSOPHY OF MIND ISSN: 2651-2963 Cilt: 5, Sayı: 1, Haziran 2022, 41-66 www.dergipark.org.tr/metazihin Volume: 5, Issue: 1, June 2022, 41-66 To Cite This Paper: Taştan, Ü. (2022). “Gödel'in Tamamlanamazlık Teoremleri Bakımından Biçimsel Dillerde İspatlanabilirlik ve Doğruluk İlişkisi.” MetaZihin, 5(1): 41-66. Gödel'in Tamamlanamazlık Teoremleri Bakımından Biçimsel Dillerde İspatlanabilirlik-Doğruluk İlişkisi [The Provability-Truth Relation in Formal Languages in Terms of Gödel's Incompleteness Theorems] Ümit TAŞTAN* Aksaray Üniversitesi Received: 04.01.2022 / Accepted: 27.06.2022 DOI: 10.51404/metazihin.1053120 Research Article Abstract: In this article, we try to show the limits of formalism based on Gödel's incompleteness theorems. The most fundamental debate in our study is shaped by the tension between formal provability and truth. The studies that started with Frege's project to reduce arithmetic to logic and continued with Hilbert's formalist program aimed to establish a solid foundation for mathematics. But when Gödel proved that some propositions c ould not be decided formally, the pervasiveness of Hilbert’s formalist program took a hit. On the other hand, Gödel's theorems initiated a discussion on the relation between provability and truth, since it showed that there were propositions for which a proof could not be provided, but nonetheless were said to be true. In our study, we try to show the limits of provability in a formal language based on Gödel’s theorems. Thus, our study concludes that formal provability could not encompass reality. Keywords: mathematical paradox, Gödel, Hilbert, truth, undecidability, formalism, incompleteness theorems, provability. Öz: Bu makalede Gödel’in tamamlanamazlık teoremlerinden hareketle biçimselciliğin sınırlarını göstermeyi amaçlıyoruz. Çalışmamızdaki en temel tartışma biçimsel olarak ispat edilebilirlik ile doğruluk arasındaki gerilime dayanmaktadır. Frege’nin aritmetiği mantığa indirgeme projesiyle başlayan ve Hilbert’in biçimselcilik projesiyle devam eden çalışmalar matematiğe sağlam bir temel oluşturma amacını taşıyordu. Fakat Gödel bazı önermelere biçimsel olarak karar verilemeyeceğini ispatlayınca Hilbert’in biçimselcilik projesinin kuşatıcılığı da darbe almış oldu. Diğer taraftan Author Info: Ümit Taştan Aksaray University, Faculty of Arts and Sciences, Department of Philosophy, 68100 Aksaray, TURKEY. E-mail: umit16tastan@gmail.com M e t a M i n d J o u r n a l o f A r t i f i c i a l I n t e l l i g e n c e a n d P h i l o s o p h y o f M i n d Ümit TAŞTAN Meta Mind 5(1) / June 20 22 42 Gödel’in teoremleri ispatı verilemeyen ama yine de doğruluğundan bahsedilebilen önermelerin olduğunu gösterdiği için ispatlanabilirlik -doğruluk tartışmasını başlattı. Çalışmamızda Gödel’in teoremlerine dayanarak biçimsel bir dilde ispat edilebilirliğin sınırlarını göstermeye çalışıyoruz. Böylece çalışmamız biçimsel olarak ispat edilebilirliğin doğruluğu kuşatamadığı sonucuna varmaktadır. Anahtar Kelimeler: matematiksel paradoks, Gödel, Hilbert, do ğruluk, karar verilemezlik, biçimselcilik, tamamlanamazlık teoremleri, ispat edilebilirlik. 1. Giriş Bilginin kesinliği ve doğruluğu konusunda ilk filozoflardan bu yana en çok kabul gören bilgi türlerinden birisi matematiksel bilgidir. Özellikle Öklid’in oluşturduğu aksiyomatik yöntem ile matematiğin evrensel olarak geçerli simgelerine tutarlı kurallar ekleyerek doğru önermeler elde edileceği düşüncesi, 19. yüzyıla kadar M e t a M i n d J o u r n a l o f A r t i f i c i a l I n t e l l i g e n c e a n d P h i l o s o p h y o f M i n d Ümit TAŞTAN Meta Mind 5(1) / June 20 22 66 Gür, B. S. (2012). Matematik Belası Üzerine: Matematik Felsefesinde Köşe Taşları . İstanbul: Nesin Yayınevi. Heijenoort, J. Van. (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879- 1931. Cambridge: Harvard University Press. Murawski, R. (2020). "Proof vs. Truth in Mathematics." Studia Humana, 9 (3-4): 10-18. Nabiyev, V. V. (2007). Algoritmalar. Ankara: Seçkin Yayıncılık. Nagel, E. ve Newman , J. R. (1994). Gödel Kanıtlaması . Çev. Bülent Gözkan, İstanbul: Sarmal Yayınevi. Parsons, C. (2014). “Platonism and Mathematical Intuition in Kurt Gödel’s Thought.” Philosophy of Mathematics In The Twentieth Century içinde, Cambridge: Harvard University Press. Russell, B. (1919). Introduction to Mathematical Philosophy . London: George Allen & Unwin Ltd. Sertöz, A. S. (2019). Öklid’in Elemanları. Ankara: TUBİTAK Popüler Bilim Kitapları. Yıldırım. C. (2017). Matematiksel Düşünme. İstanbul: Remzi Kitabevi. Zach, R. (2019). "Hilbert’s Program." E. N. Zalta (Der.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy içinde. Alındığı URL: http://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/hilbert-program/